Nu, sigur nu mai este acelasi lucru. Am putea conchide ca, acolo unde lucrurile sunt clare, iar scopul sistemului este doar de a reproduce un flux tehnologic, de a reproduce o actiune ce implica sincronizari de persoane, ordinea este absolut necesara. Intr-un asemenea sistem, predictibilitatea oricarei actiuni este asigurata de chiar structura si functionarea sistemului. Este imperiul ordinii, al "staticului", in care nimic nu poate sa surprinda, in care o variatie este sinonima accidentului.  

La polul opus, starea de dezordine pare sa fie, pana la interventia unor factori coercitivi, structuranti, starea normala a unui sistem. Interactiunea dintre numeroase celule ce alcatuiesc un sistem complicat (suma moleculelor ce formeaza un gaz, suma indivizilor ce formeaza un grup, o societate) conduce la o variabilitate normala a parametrilor masurabili. In consecinta, nu este posibila predictia decat in limite statistice, ce nu ne prea ajuta intr-o situatie data. Starea de frustrare este clara daca autobuzul nu vine atunci cand am nevoie de el, chiar daca in rest si in medie el este "de gasit pe traseu"?! Spunem imediat ca in acel sistem este dezordine, la limita chiar anarhie. Intr-o asemenea situatie, sincronizarile dintre persoane sau dintre dorinte individuale sunt doar accidentale. Intr-o societate in care fiecare subsistem se manifesta liber, in sensul de neingradit, dupa bunul plac, se mai spune ca domneste haosul.  

Si iata ca a aparut in discutie un cuvant ce trezeste azi in mintea noastra fel de fel de reactii. Pana la sensul propus de fizica sistemelor neliniare, a haosului determinist, sa trecem in revista anumite conotatii mai uzuale pentru acest termen. In dictionarul limbii romane moderne, editia din 1958, putem citi: 

 "....stare primitiva, de neorganizare, in care, dupa cum presupuneau cei vechi, s-ar fi aflat materia inainte de aparitia universului cunoscut de om; (in unele conceptii teogonice) prapastie fara fund in care s-ar fi gasit, intr-un amestec confuz, elementele si materia inainte de organizarea lumii; abis; in sens figurat, desemneaza confuzie si dezordine." 

 Deci, ideea unei teorii despre haos sau a unei metodologii privind controlul haosului, este pentru un neavizat o aberatie, ea fiind asociata fie conceptului de dezordine, fie unor termeni ce amintesc de procesul genezei din teologie. Din pacate, aceasta confuzie referitoare la termenul de haos a fost generata de o alegere nefericita, poate gazetareasca, a unei etichete pentru un domeniu de studiu fascinant, descoperit in acest final zbuciumat de mileniu. Pentru unii a insemnat chiar motivul abordarii, caci credeau ca vor obtine informatii transcendente, dar au dat de o matematica "arida", de experimente cu ecuatii diferentiale si au abandonat. Nu au mai ajuns sa afle despre extraordinarele aplicatii practice ale acestui minunat capitol al cunoasterii stiintifice: stabilizarea sistemelor neliniare, comunicarea prin haos, haoticitatea inimii si starea de sanatate, structura haotica a unui semnal encefalografic si restabilirea haoticitatii normale a activitatii neuronale in tratamentele de epilepsie, si cate si mai cate.  

Pentru altii, si aici este mai grav, caci printre ei sunt si matematicieni sau fizicieni, termenul a actionat ca un filtru ce a determinat anularea oricarei sanse de contact cu studii privind comportarile haotice din natura, caci a fost asociat cu filozofia sau teologia, domenii ce nu "fac bine" in societatea moderna.  

Consideram ca prima carte din colectia Stiinta Complexitatii editata de Nemira: Inventarea formelor a lui Boutot este deosebit de utila, in primul rand pentru faptul ca demitizeaza anumite notiuni si informeaza cititorii asupra sensului unor neologisme din stiinta contemporana: fractali, haos, teoria catastrofelor, sinergetica, etc.  

Si pentru a veni in ajutorul celor care pot fi maine marii profesori ai acestui nou domeniu de studiu, am alcatuit cateva programe care sa sugereze particularitatile de baza ale conceptului de haos determinist. 

 Am vazut in general ca cel mai usor este sa se asocieze cuvantului haos cel de dezordine sau confuzie. Incercam sa accentuam intrebarea: a cui este confuzia? Este ea principiala, a sistemului ce nu s-a organizat inca, sau este o proprietate a mintii celui ce nu percepe ordinea existenta in suma de variabile ce il inconjoara? Este o proprietate a lucrului observat sau a observatorului? Avand in vedere textul bogat in informatii referitoare la acest subiect din cartea lui Boutot, ne vom opri doar la cateva aspecte din jurul intrebarii de mai sus.  
 

Cum se genereaza harta logistica a lui Feigenbaum ?  

Surpriza descoperirii haosului a fost legata de ceva atat de simplu, de o parabola!!! Dar sa vedem cum s-a ajuns de la un banal grafic la complexitatea unei harti logistice. Si pentru aceasta sa incercam sa punem in formula dinamica numarului de celule vii ce se dezvolta pe un teritoriu limitat energetic. Sa ne imaginam ca pe o insula (asta este alta poveste, nu are legatura directa cu fractalii lui Richardson sau ai lui Mandelbrot, dar povestea incepe tot cu o insula!), sunt conditii proprii pentru dezvoltarea unui numar maxim (Xmax) de animalute mici. Povestea nu spune de care. La un moment dat, cineva, chiar si aduce pe acesta insula un numar de exemplare si le lasa liber sa se inmulteasca.  

Problema care se pune este:  
putem scrie o ecuatie care sa permita evidentierea dinamicii populatiei, care normal va creste treptat, apropiindu-se de numarul critic Xmax pe care insula il poate suporta?  
Se stabilizeaza nivelul populatiei la un numar anume, convenabil, care ramine stabil odata atins, sau din contra, vom asista la o permanenta oscilatie a acestui numar: permenante crize demografice urmate de perioade de suprapopulare?  
Si daca va fi una din cele doua solutii, de ce este asa?  
Iata citeva intrebari ce au preocupat pe multi matematicieni in studiile lor de biofizica si biomatematica.  

Dar sa incepem constructie ecuatiei.  
Vom defini o variabila adimensionala (y) ca fiind raportul dintre numarul curent de animale recenzate la un moment dat (x) si numarul maxim ce poate supravietui pe acel teritoriu, (limitat energetic) (Xmax). 
Evident ca y variaza de la 0 (extinctie totala a acelei specii) la 1, atunci cand se atinge pragul limita de sustinere materiala a populatiei ce s-a dezvoltat.  
Se pune problema determinarii vitezei de inmultire, de variatie a populatiei, deci a valorii dy/dt. Putem aprecia ca extrem de simplu urmatorul model, capabil sa tina seama de cele doua tendinte contrare: inmultire, cu atat mai rapida cu cat vor fi mai multe animale ce se pot inmulti, si extinctie, blocarea natalitatii cand populatia a atins limita de subzistenta. Matematic, in cea mai simpla forma ce a deschis si poarta catre haosul determinist putem spune ca: 
1. dy/dt ~ ky, unde k depinde de cat de prolifica este specia analizata; 
2. dy/dt ~ (1-y), termenul de limitare care tine seama ca pe masura ce se atinge o suprapopulare, mortalitatea poate depasi natalitatea si deci cresterea efectiva a populatie scade, la limita, catre 0.  
Deci, cea mai simpla ecuatie este de forma: 

 ecuatie extrem de simpla, dar care a creat atata bataie de cap si atata noutate conceptuala.  

Rezolvarea analitica a acestei simple ecuatii diferentiale conduce la o solutie corecta matematic dar nevalidata de practica. Ea evidentiaza o crestere continua, dupa o anumita curba dependenta de constanta k (ce poate fi vazuta drept parametru de control), fara dinamismul "tragic" al dezvoltarii vietii, ce implica perioade de "aur" si perioade de "fier". 
Problema a devenit cu adevarat interesanta in momentul in care s-a incercat rezolvarea acestei ecuatii cu ajutorul calculatorului electronic (din nou acea unelta ce pare sa determine adevarate mutatii in paradigma noastra). Pentru a putea rezolva o asemenea ecuatie, forma cea mai simpla este utilizarea unei metode de aproximare, ce implica o discretizare a ecuatiei diferentiale, metoda ce determina formarea unei relatii recurente, solutionarea problemei fiind astfel mutata spre studiul de convergenta al unui sir de iterate. 

 Concret, cu un pic de atentie si o schimbare de variabila pe care va lasam sa o identificati, ecuatia (1) este rescrisa sub forma: 
  

Surpriza deosebita pe care Feigenbaum a avut-o la calculul variantei discrete (2) a constat in faptul ca, peste o anume valoare critica (c1), sirul iteratelor se divide in doua subsiruri convergente catre doi atractori diferiti (z1* si z2*). La o noua valoare critica pentru c, (c2), fiecare subsir se "divide" in alte doua subsiruri convergente fiecare in parte catre o noua limita. Numarul atractorilor creste, dupa o lege ce implica "dublarea perioadei", pana cand numarul atractorilor devine asa de mare iar succesiunea lor asa de dificil de identificat incat, desi este generat printr-o ecuatie fara nici un termen aleator, perfect determinista, sirul obtinut se prezinta observatorului asemanator unui sir guvernat de hazard. Considerand o comparare permanenta cu valori calculate analitic, putem sa "simtim" impreuna surpriza lui Feigenbaum, ruland programul (haos1.zip 21k) urmator. 

 Pentru un anume (c) se poate spune ca variatia succesiunii valorilor este si variatia in timp a populatiei din problema prezentata initial. Puteti compara prin simpla vizualizare, pentru valori diferite ale lui (c) diferenta dintre solutia analitica (punctele verzi) si cea discreta (punctele galbene). Oricum avem de ales acum dintre doua modele, dar este evident ca viata este mai apropate de descoperirea lui Feigenbaum.  

Pentru (c) egal cu 1.1 se remarca doar o mica diferenta, in regimul tranzitoriu, intre tratarea analitica si cea discreta. Dar, pe masura ce (c) creste, numarul si pozitia "solutiilor" oferite de tratarea discreta surprind. Pentru valori ale lui (c) peste 2.9, numarul acestor solutii este asa de mare incat, o determinare a lungimii sirului de date ce constituie perioada este practic imposibila. Cresterea lui (c) ne conduce treptat spre "confuzie", spre "dezordine", dar o dezordine legata de incapacitatea NOASTRA si nu de natura intima a fenomenului. Iata deci o adevarata provocare adresata filozofilor, psihologilor, ce vine din domeniul "arid"?! al matematicii.  
Cum putem deosebi un fenomen aleator de unul haotic determinist? Unul in care natura intima implica nedeterminare, intamplare si altul care, desi perfect determinist, se comporta intr-un mod atat de neasteptat incat, fara o tratare adecvata, el apare observatorului ca fiind de aceeasi calitate cu prima clasa evidentiata! Iata o intrebare ce merita un pic de meditatie din partea noastra!!  

Am mai dori sa subliniem ceva deosebit. Calculatorul a permis vizualizarea unor concepte teoretice, destul de abstracte si deci dificil de transmis in procesul de invatare. Inteligent utilizata, aceasta unealta ne poate ajuta enorm in procesul didactic. Utilizata mecanic, doar utilitar, prin manevre stereotipe pe meniuri de contabilitate sau de desenare automata, poate ucide spiritul uman. Ca de fiecare data in acest univers dual, acelasi lucru poate sa inalte sau sa ucida . Un lucru nu este astfel nici bun si nici rau in sine. Acest calificativ depinde doar de utilizator si context. 

 Se cunoaste in matematica sau in fizica existenta unor sisteme ce manifesta sensibilitate la conditii initiale. Altfel spus, o eroare (epsilon =0.000...1), conduce, mai repede sau mai tarziu, la stari finale diferite. Din acest motiv, predictia in aceste sisteme este dificila in principiu. Nu putem controla starea initiala si astfel, sistemul evolueaza pe cai diferite. Un asemenea sistem este cel al lui Henon sau cel al lui Lorentz, prezentate pe larg in numeroase carti si articole. Noi ne-am gandit sa va oferim doar posibilitatea de a surprinde prin proprie experimentare sesizarea acestei sensibilitati. Apeland programul (zip ~30K) urmator veti verifica suprapunerea a doua traiectorii calculate cu sistemul de ecuatii diferentiale cunoscut sub numele de Henon, ce pornesc din valoarea initiala x(0) si x(0+epsilon). Puteti constata ca, oricat de mica va fi diferenta aleasa, mai repede sau mai tarziu, cele doua grafice nu mai au nimic in comun. O mica eroare ne poate duce in alta parte!  

Si in final, o alta idee tot atat de "nastrusnica". Suntem conditionati sa gandim "coerent", logic, intr-o succesiune de tip: pas langa pas (coerenta in spatiu) si pas dupa pas (coerenta in timp). O pagina are literele asezate unele langa altele si doar in filmele de spionaj am vazut grile care permit o distribuire aleatoare a literelor pe toata suprafata intr-o asemenea "dezordine" incat, fara un "ghid", fara a uita ordinea si a neglija literele de prisos dintre cele importante, nu am putea surprinde nimic.  
La fel procedam si cu formarea prin scanare a unei imagini. Cand ne uitam acum la acest display ce permite transferul de informatii, nu suntem de obicei constienti ca ne uitam doar la un punct, ce "alearga" asa de repede: de la stanga spre dreapta si de sus in jos, incat ochiul poate retine doar "istoria" lui si nu fiecare pozitie independenta.  
Dar, daca tot nu retinem ordinea in care au fost asezate pe ecran, de ce sa ne chinuim sa le asezam asa de ordonat? de ce sa pierdem timp? sau energie? pentru a ordona cand am putea profita de un eventual "algoritm natural" ce acceseaza punctele dupa o lege proprie chiar imaginii, si care dupa un timp (?) devine coerenta pentru observator. Experimentati si imaginati!  

Apeland programul (haos4.zip 18K) urmator veti vedea formarea "atractorului Henon". un punct aici, un punct acolo, amplasate aparent dezordonat, dar nu atat de dezordonat precum parea in programul anterior, caci, dupa cum veti vedea, se obtine o imagine stabila. Daca indepartati pauza dintre puncte, imaginea apare "instantaneu", desi este principial diferit structurata.  
Cum ar putea fi oare utilizate practic aceste sugestii? Caci interpretarea lor stiintifica este clara si, din bibliografia noastra, ati putea afla o multime de lucruri ce se cunosc despre acest subiect. Problema pe care noi o ridicam aici, prin aceasta mica completare a cartii unui filozof in ale stiintei, priveste modul in care putem scrie pagini noi. Si cand spunem noi, intelegem cu adevarat noi si nu doar simple compilari.  

Deci, intre precizia si ordinea specifica eruditilor si profesionistilor, si dezordinea mentala a ignorantilor si maniacilor, exista o cale de mijloc ce nu este un compromis, ci ceva de o cu totul alta natura. Este muchia ingusta a creatiei. Va invitam sa o explorati si sa ne faceti pe toti partasi descoperirilor voastre. Va asteptam parerile, programele, dorinta de colaborare pe adresa Centrului pentru Studii Complexe