Dr. Czimbalmos-Kozma Ferenc
Addenda
Appendicis Tentameni©
sau introducere in matematica
cuantica si teoria
matematica a spatiului cuantic abstract si real unificat
(Patch to the Appendix of Tentamen)
Introducere, necesitatea unui sistem matematic al spatiului fizic real existent
Este fireasca pretentia
stiintelor reale pentru un sistem matematic unitar si
coerent, capabil de modelarea realitatii fizice existente. Matematica contemporana foarte diferentiata insa
nu este nici pe departe o stiinta unitara, drept urmare a dezvoltarii sale
exponentiale. Inca din antichitate s-a incercat descrierea tuturor fenomenelor
realitatii existenete, atat a celor fizice cat si a celor psihice. Abordarea
acestor probleme a luat doua cai in decursul istoriei culturii umane: calea
artei si a stiintei. In cea ce priveste stiinta, de la bun inceput s-a procedat
la utilizarea unui limbaj comun, matematica. In antichitatea elena deja
geometria si aritmetica au constituit instrumentul si limbajul descrierii
fenomenelor reale, cum ar fi cele astronomice, etc. Fara sa se afirme acest
lucru, era fireasca unitatea stransa dintre obiect si subiect, metoda si
abstractie. S-a vorbit despre unul si acelasi spatiu atat in astronomie cat si
in geometrie. Aceasta situatie a persistat pana in seolul 19 cand a venit
apusul matematicii clasice. In acele timpuri s-a constientizat diferenta intre
abstract si real. Dintre fondatorii geometriei hiperbolice matematicianul
maghiar Bolyai a afirmat urmatoarele in scrisoarea sa din 3 noiembrie 1823, adresata
tatalui sau cu prilejul descoperirii geometriei hiperbolice: „din nimic am
creat o alta, noua lume”. O lume abstracta, imaginata – sa nu uitam. De aici
putem data separarea in gandirea umana a notunii spatiului fizic real de cel al
notiunii de spatiu geometric abstract. Din acest moment s-ar fi putut da seama
ca nimeni nu putea fi sigur ca spatiul real fizic existent si fenomenele
petrecute in el asculta de aceasi legi ca si legile spatiul abstract al
gandirii matematice si fenomenele reale pot fi descrise cu formulele valabile
in spatiul abstract al gandirii matematice. De fapt nici inainte de aceasta
data nu ar fi putut fi nimeni sigur ca lumea reala existenta asculta de
Euclide, dar totusi aceasta convingere era unanima, fireasca si nici macar indoieli
serioase nu se puneau. In ultimele doua veacuri insa s-a produs un decalaj
enorm intre metoda si fenomene, intre sistemul abstract denumit matematica
contemporana si intre descoperirile instrumentale, cum ar fi decalajul extrem
si inexplicabil spre infrarosu al liniilor spectrale ale quasarilor, etc.
Fig.1. Matematica contemporana si principalele ei
domenii
Exista pe de alta parte capitole intregi in
matematica contemporana despre care se poate afirma ca nu e logic sa-si aiba
echivalentul lor fizic real. Ma refer de exemplu la teoria multimilor al lui
Cantor din care ar rezulta la un anumit moment ca numarul punctelor unui
segment AB ar putea fi egal cu numarul tuturor punctelor universului, afirmatie
care probabil nu are ce cauta in arsenalul descrierii realitatii fizice
existenete. Se ridica azi deja problema corelabilitatii matematicii moderne cu
realitatea fizica existenta. Numeroase au fost incercarile facute pentru a
aduce la un numitor comun teoria cu experienta concreta, dar deocamdata
rezultatele convingatoare lipsesc. Situatia nu este normala. Matematica si
fizica nu pot prezenta doua realitati diferite: una abstracta si una existenta
intr-adevar. Sau chiar daca acceptam necesitatea unui sistem de gandire
abstract, nu putem renunta la cautarea unui model matematic precis al
realitatii fizice intr-adevar existente.
Istoric
Pana la aparitia geometriei hiperbolice
Bolyai-Lobachevsky notiunea spatiului fizic real si notiunea spatiului geomeric
nu au fost considerate doua notiuni separate, spatiul ca atare nefiind
considerat o notiune abstracta. Geometria euclideana cu postulatele si axiomele
sale descrie spatiul euclidean . In cursul dezvoltarii stiintei spatiul real
fizic a fost la inceput considerat a fispatiu euclidean, cum putem observa
aceasta idee la Immanuel Kant. Incepand din sec. 19 insa au fost formulate dubii in acest sens. S-a
presupus ca Gauss ar fi masurat pozitia a trei varfuri de munte cu scopul de a
vedea daca suma unghiurilor al unui triunghi real difera de 180°. (Realitatea e ca el a facut aceste
masuratori cu alt scop, topografic, si nu a crezut ca pe o figura plana de
cateva zeci de km. s-ar putea verifica valabilitatea in realitatea fizica a
geometriei euclideene). In viata cotidiana insa persista ideia ca spatiul real
la scara vietii noastre ar fi spatiu euclidean. Cu aparitia teoriei
relativitatiia lui Einstein insa a intervenit o mare schimbare si in acest
sens. Curbura spatiului in apropierea maselor mari a fost demonstrata in mod
practic.Conform conceptiei actuale, la inceputul mileniului al treilea,
geometria hiperbolica este de fapt, in mod tacit si neintemeiat unanim
acceptata ca fiind modelul geometric posibil al spatiului fizic real. De fapt
continuul spatiu – timp al lui Einstein este modelul folosit dar sa nu uitam ca
teoria relativitatii se bazeaza in mare masura pe o geometrie non-euclideana
formulata de Riemann. Matematica foloseste un corp numeric compus din multimile
numerelor naturale N, integre Z, rationale Q, reale R,
algebrice A si complexe C cu binecunoscutele lor relatii si
proprietati structurale la care nu ne referim aici.
Fig.2. Clasica reprezentare a corpuli numeric:
sfera numerica alui Riemann pe planul numeric al lui Gauss
A venit insa timpul sa raportam si celelaltele
abstarctii matematice posibile la realitate si sa selectam una dintre aceste
modelele abstracte, care s-ar dovedi in intregimea lui functionabila si in
realitatea fizica existenta, nu asa cum azi inca metoda noastra de descriere a
realitatii fizice existente, matematica contemporana contine elemente despre
care se poate intui ca nu-si au echivalentul lor in realitatea fizica
existenta. Azi deja avem nevoie de un model matematic unde reunificam cele doua
notiuni, si vorbim despre spatiu intelegand sub aceasta notiune
atat spatiul fizic real cat si cel abstract al modelului mataematic. Daca s-ar
gasi un model matematic dupa care functioneaza realitatea fizica existenta deja
cunoscuta, si am fi convinsi – convingere apartinatoare deja sferei
transcendente - despre unitatea realitatii, ne am putea astepta ca si toate
celelalte elemente inca necunoscute ale realitatii fizice existente ar
functiona tot dupa acest model. Drept urmare, modelul ne-ar sluji in procesul
cunoasterii si ne-ar ajuta in explicarea unor fapte cunoscute dar inca
neexplicate sau in viitoarea intelegere a celor inca nedescoperite. Modelul ar
restrange cercul unor grupe de ipoteze, infirmand unele a priori si sprijinand
altele sau ar prezice descoperirea unor fenomene fizice reale cum a fost
corelatia intre cvaternionii descoperiti de W. R. Hamilton cu mult inaintea teoriei
relativitatii unde si-au gasit aplicatia. Sa nu uitam, ca pana acuma s-a lucrat
in fizica cu tot arsenalul matematicii, stiinta bazata de fapt pe conventii
arbitrare ! Matematica in sine, ca sistem abstract e adevarata si in
forma ei actuala, nimeni nu contesta acest lucru. Cu alte postulate sau
conventii de baza se pot construi insa si alte matematici. Numai practica poate
demonstra, care dintre aceste „matematici posibile” este modelul realitatii. Sa
nu uitam, ca pana in prezent s-a lucrat numai cu un singur sistem !
Bazele
teoretice ale matematicii cuantice
Notiuni
introductive
Dezvoltarea exponentiala a stiintei s-a produs
incepand de fapt de la aparitia geometriei hiperbolice. Din antichitate si pana
in sec. al 19-lea a gandirea umana era dominata de geometria euclideana. Acesta
era un sistem conceptional monolitic si unitar. Ca sa se poate inainta, sa se
poate largi sistemul era necesara regandirea axiomelor. Toate axiomele insa pareau absolut logice cu
exceptia celui V. la Euclide. Axioma paralelelor de fapt a fost obiectul studiilor inca din evul mediu.
Cand a fost abandonata si inlocuita axiomul V.– azi am spune ca din sistemul de
axiome al lui Hilbert a fost inlocuita axioma paralelelor permitand 2 paralele
in loc de una printr-un punct la o dreapta - s-a nascut un sistem mult mai
larg, geometria hiperbolica care insa are o parte comuna cu cea euclideana, asa
numita geometrie absoluta. Trebuie
sa observam insa ca se poate merge si mai departe, de data aceasta insa nu prin
schimbarea sau abandonarea unor axiome ci prin reconsiderarea unui
element de baza al sistemului de axiome. Definind un numar de 3
sau 4 (sau alt numar diferit de 0) dimensiuni elementului punct in loc de 0 ,
stabilit absolut arbitrar si in mod pur speculativ in matematica actuala,ia
nastere o geometrie si o analiza matematica cu totul aparte, pe care-i putem
denumi cu termenul de matematica cuantica si geometrie cuantica si cu
ajutorul carora se poate descrie teoria matematica cuantica a spatiului fizic
real, in stransa concordanta cu teoria lui Stephen Wolfram potrivit cui timpul
si spatiul nu sunt continue, iar realitatea e descriptibila prin algoritme si
nu prin formule. Daca consideram spatiul cuantic ca o retea, compusa din
elemente de baza, puncte, „unitati de loc” distincte cu proprie individulitate
si indivizibile, fara structura dar avand dimensiuni, iar raporturile lor de
vecinatate avand o topologie definita, verosimil tridimensionala cubica sau cel
mai simplu tetraedrica, iar timpul cuantic compus din unitati distincte minime
indivizibile si secventiale, este posibil ca am putea explica multe aspecte
inca obscure ale fizicii de la cosmologie pana la microfizica. Dealtfel nu avem
nici un temei sa presupunem ca spatiul fizic real existent nu ar putea avea o
structura elementara. Desi nu vom putea observa aceasta structura, totusi vom
putea avea macar idee despre ea daca gasim un model matematic adecvat
descrierii fenomenelor produse in acest spatiu. Acest model va descrie in acest
caz si ultrastructuraspatiului fizic real existent. Cu ajutorul geometriei
cuantice putem itroduce notiunea elementului de baza al spatiului fizic real
existent, punctul cu dimensiuni, „topos”-ul elementar discret, individual si
indivizibil. Aceste puncte intr-un numar extrem dar nu infinit de mare ar putea
costitui in totalitatea lor, intr-un aranjament cu topologie definita spatiul
Universului fizic real existent. Precum geomeria hiperbolica nu a ruinat
rezultatele stiintei de pana atunci ci a deschis orizonturi noi, tot asa,
matematica cuantica trebuie sa explice toate observatiile corecte de pana acum
si sa deschida calea spre posibilitati noi.
Metoda axiomatica
Matematica
este o stiinta fundamentata cu ajutorul metodei axiomatice. Prin acesta
intelegem ca utilizam un numar minim de notiuni primare care nu pot fi reduse
asupra altor notiuni, precum si un numar de afirmatii referitoare la aceste
notiuni, afirmatii de fapt imprumutate din realitatea practica pe care-i
acceptam fara sa-i dovedim si-i numim postulate si axiome si pe baza carora
putem defini toate celelalte notiuni si afirmatii ale stiintei matematice. Azi
deja nu mai facem o deosebire atat de pronuntata intre postulat si axiom.
Cand vorbim despre un postulat, definim in mod
arbitrar un punct de pornire si din aceasta cauza nu contestam realitatea lui.
Cand vorbim despre axiom, afirmam cevace este firesc pentru oricine si pare
logic in baza gandirii lucide. Astfel putem afirma fara exagerare ca stiinta
moderna este bazata pe afirmatii aparent logice dar absolut arbitrare: pe postulate
si axiome se bazeaza matematica, care la randul ei reprezinta limbajul comun al
stiintelor reale.
Sistemul
de axiome al lui Hilbert
Totalitatea axiomelor folosite la fundamentarea
unei stiinte reprezinta sistemul de axiome pe care se bazeaza stiinta
respectiva. Sistemul de axiome al lui Hilbert reprezinta baza geometriei
euclideene care satisface cerintele logicii matematice. Are ca elemente de baza
„punctele”, „dreptele”, „planurile”. Asupra acestor elemente de baza exista
referintele de baza care sunt icidenta, interpozitia si congruenta asupra
carora sunt satisfacute cele 20 de axiome impartite in 5 grupe (grupele
axiomelor de incidenta, de ordonare, de congruenta, de paralelismsi
continuitate. Dintre elementele de baza conventia asupra elementului punct este
cea mai arbitrara. Conform conceptiei actuale, punctul ca element de baza in
sistemul de axiome e ceva care nu are parti si numarul dimensiunilor sale este
nul.
Geometria euclideana, absoluta
si hiperbolica
Geometria euclideana este bazata pe sistemul de
axiome al lui Hilbert. Geometria absoluta este suma acelor proprietati
geometrice care rezulta din axiomele de incidenta, de ordonare, de congruenta
si continuitate si constituie partea comuna atat a geometriei euclideene cat si
a celei hiperbolice care la randul sau este bazata pe axiomele geometriei
absolute completate cu axioma conform caruia intr-un plan, printr-un punct la o
dreapta pot fi trase paralele intr-un numar mai mare de 1.
Descrierea
bazelor matematicii cuantice
Sistemul
de axiome al geometriei cuantice
Din
sistemul de axiome al geometriei hiperbolice pastram toate axiomele, cele trei
referinte de baza iar dintre elementele de baza in mod neschimbat planurile
(in mod analitic: planul in sistemul de coordonate Oxyz este definit de ecuatia
Ax + By + Cz +D = 0unde A,B,C Є R si A²+B²+C² ≠ 0 )
si
dreptele
(in mod analitic: dreapta asezata in planul
sistemului de coordonate Oxy estemultimea//set// acelor puncte M(x,y) asupra
carora este valabila ecuatia
Ax + By + C = 0unde A,B,C? R si A²+B² ≠ 0)
dar inlocuim notiunea elementului de baza punct care nu are parti si are numarul dimensional 0 in matematica clasica cu notiunea elementului de baza cu extinderea cea mai mica adica punct si definim ca conventie de baza ca numarul dimensiunilor unui element de baza in sistemul de axiome este egala cu numarul dimensiunilor spatiului descris.
Astfel
definim o geometrie noua, dar de data aceasta nu prin schimbarea unei axiome ci
prin schimbarea unei conventii de baza. Nu acceptam faptul ca punct e acel ceva
care nu are parti. Presupunem ca ceva in ce nu are parti, macar dimensiuni,
nici nu exista. In geometria cuantica punctul e elementul cu marimea minima, el
reprezentand notiunea de „cel mai mic ceva” , de „masura minima posibila”.
Punctul in geometria cuantica a spatiului tridimensional reprezinta marimea
minima posibila in trei dimensiuni, adica elementul care are extinderea minima
posibila in trei dimensiuni, segmentul este elementul de baza care are
extinderea minima posibila in doua dimensiuni, planul intr-o singura dimensiune.
Punctul are deci extinderea minima in trei dimensiuni. Daca abordam un model cu
4 dimensiuni, cea ce este logic ca metoda de lucru in lumina teoriei
relativitatii, punctul este elementul cu patru dimensiuni minime posibile,
s.a.m.d.
Consecinte geometrice
In geometria cuantica doua puncte deja constituie un segment (segmentul cel mai mic are 2 puncte si poate fi numit segment elementar in acest caz) iar un plan poate fi definit cu trei puncte. Patru puncte deja pot constitui o formatiune in spatiu. Amplasamentul punctelor in spatiu poate fi definit umai cu ajutorul notiunilor folosite in topologie si cu vectori si poate fi reprezentat cu ajutorul modelelor retelelor cristaline care exista intr-un numar finit. (Exemple in Fig.3.)
Fig.3. Modele de reprezentare a
amplasamentuluipunctelorintr-un spatiu cuantic cu retea cristalina de tip
cubic, tetraedric, hexagonal si sferic
O curba este de fapt un lant de puncte sau de segmente. Este interesant ca cinci puncte pot alcatui o sfera (sfera fiind suma punctelor din spatiu aflate la aceasi distanta de un punct). Aceasta ar fi sfera „elementara” adica sfera cea mai mica posibiladaca topologia „retelei cristaline” a spatiului este tetraedrica ( in exemplul acesta sfera este suma punctelor din imediata vecinatate a unui punct). (Fig.4.)
Fig.4. Simetria cu topologie tetraedrica a
elementelor bazale ale spatiului cuantic si sfera elementara intr-un asemenea
spatiu cuantic
Aceasta formatiune poate fi denumita sfera
elementara intr-o asemenea geometrie. Relatiile de vecinatate a elementelor de
baza a spatiului, adica topologia punctelor determina dupa cum vedem structura
„retelei cristaline” a spatiului cuantic. Numai verificarea in practica a
matematicii cuantice poate revela aceasta ultrastructura in privinta spatiului
fizic existent real, ne-abstract. Sunt necesare indelunguate modelari si
simulatii aplicand supercomputere pentru a putea decide structura elementara a
spatiului curb si a curburilor reale ale spatiului fizic si structura
eventualelor zone de tranzitie intre diferitele tipuri de „retea” si diferite
curburi. Cunoastem, ca sunt posibile numai 24 tipuri de retele cristaline.
In exemplul de mai jos segmentul AB este in aceasi plan cu planul CDE si segmentul BC trebuie sa aibe in mod obligat 3 puncte deoarece punctul B nu este vecin cu punctul C dar exista un punct care este vecin cu ambele. In acest caz vecinatatea este considerata numai in orientarea dimensiunii care determina segmentul BC,astfel se poate vedea ca rolul vectorilor, grafelor si a notiunilor de toplogie este de importanta majora in descrierea geometriei cuantice. (Fig. 5.)
Fig.5. Presupunand o topologie reprezentabila printr-un
aranjament cubic al „ retelei cristaline” a elementelor de baza a
spatiului, segmentul AB alcatuit din 2 puncte este in aceasi plan cu planul CDE
alcatuit din trei puncte.
Tot asa se poate remarca ca fara utilizarea
grafelor nu se poate descrie nimic in matematica cuantica. In fig. 6. segmentul
AB poate fi alcatuit in 3 moduri.
Fig.6. Presupunand o topologie reprezentabila printr-un aranjament hexagonal al „ retelei cristaline” a elementelor de baza a spatiului putem remarca faptul, ca la descrierea segmentului Ab compus din 4 puncte putem utiliza considerente topologice si grafe.
Nu se poate defini cercul chiar asa ca in
geometria clasica. (Multimea punctelor aflate in aceasi plan si la distanta
egala de un punct.)Numarul π (raportul intre circumferenta si diametrul unui
cerc) in geometria cuantica este numar rational si depinde de radius. Sfera cea
mai mica posibila (sfera fiind suma punctelor aflate la distanta egala de un
punct dat) aici inseamna suma punctelor vecine unui punct dat si forma lui este
dependenta de topologia vecinatatii punctelor spatiului materializate intr-un
fel de „retea cristalina” a spatiului. Valoarea numarului π in geometria cuantica poate fi numai o
fractiune rationala, inconstanta, dependenta de radius si curbura spatiului.
Astfel in cazul unui plan, al carui puncte - definite dupa considerentele
aratate in fig.1,2,3 si 4 - se afla intr-un spatiu curb, cu o curbura pe care-l
putem modela cusuprafata unei sfere, valoarea lui π poate fi foarte mic, (de exemplu in
fig.7.)
Fig.7. Valoarea numarului π in cazul unui curburi definite al spatiului
cuantic
(Cand AB=BD=CD=AC=OC=OB=r [...aminti-va de un igloo!]
AB+BD+CD+AC=c,
c=2rπ
4r=2rπ
π=2 in acest caz)
iar in
cazul unei curburi modelate de suprafata unui paraboloid hiperbolic poate fi
foarte mare. Aici consideram ca privind segmentele cuprinse in planurile
respective, dreapta este considerata distanta cea mai mica intre puncte adica
numarul minim de puncte elementare intre cele doua puncte. (Aici sa ne aducem
putin aminte de P.A.M. Dirac, care presupunea in secolul trecut dependenta
valorilor unor constante fizice de baza in functie de distanta…).
Fig. 8:π1
< π2
< π3
< π4
Paradoxul lui Zenon nu exista in matematica
cuantica. Pe un segment in geometria cuantica exista un punct B care este cel
mai aproape de punctul A si deci exista situatia in care injumatatirea de 2 ori
a unui segment AB nu are sens.
Deoarece si„axiomul lui Archimede” capata o alta forma in geometria cuantica, se poate afirma ca in aceasta geometrie nu sunt admise unele rapoarte intre doua segmente, astfel de exemplu nu poate fi definit numarul √2 ce are consecinte multiple. Mai mult, exista rapoarte „nepermise” ale caror rezultat nu este numar rational. (Fig.9.)
Fig.9. Intr-un spatiu cuantic nu sunt posibile
orice rapoarte intre segmente. In acest caz sementul AB poate fi raportat la
segmentul BD sau BE dar nu putem vorbi despre un raport al segmentului AB la un
sement BX unde BD<BX<BE deoarece sunt situatii candexistenta unui
asemenea segment AX nu este admisa in geometria cuantica.
Daca
trei segmente formeaza un triunghi, rapoartele intre laturile triunghiului cu
unghuri egale depinde de marimea lor si orientarea lor in spatiu, cea ce insa
la o scara incomparabil mai mare decat cea a componentelor elementare ale
spatiului nu poate fi observata.
Formularea
analizei matematice si a algebrei bazate pe corpul numeric restrans al axei
numerice cuantice
Geometria
analitica carteziana este puntea de legatura intre geometrie si analiza
matematica, tezele valabile in geometrie pot fi aplicate si in analiza
matematica si viceversa. Luand in considerare relatia intre geometrie si
analiza matematica, materializata in geometria analitica, putem afirma ca
pornind din geometrii posibile, putem definii algebrele lor inerente. Astfel,
din geometria cuantica putem defini analiza matematica bazata pe corpul numerar
restrans al axei numerice cuantice. Daca consideram segmentul AB cu marime
finita, in geometria clasica este interpretabila injumatatirea de n ori
a segmentului AB unde n Є R chiar si in cazul cand lim n→∞,
cea ce nu este interpretabila in geometria cuantica, unde segmentul AB poate fi
impartit de m ori unde m nu poate fi decat numar pozitiv intreg
finit. Din aceasta cauza in loc de lim n → - ∞ si lim n
→ + ∞ trebuie sa introducem notiunea de α (alfa) si Ω (omega) in sensul
„numarului cel mai mic” si „numarului cel mai mare”. (In mod concret, un
exemplu: daca spatiul fizic real existent e cuantic, compus din elemente de
baza individuale, indivizibile, cu dimensiuni, numarul acestor elemente nu
poate fi infinit de mare, desi este extrem si inimaginabil de mare). Acesta se
poate raporta la axa numerica. In acest caz rezulta o axa numerica cuantica
restransa la numerele rationale intr-un numar finit dar inimaginabil de mare.
Sa ne gandim la faptul, ca un segment compus dintr-un numar finit de puncte
indivizibile cu numar dimensional diferent de 0 nu poate fi divizat sub orice
raport. Astfel nu putem vorbi de √2 sau alte numere irationale in
matematica cuantica. Numerele imaginare nu pot fi definite in matematica
cuantica in modul clasic, deoarece aici nici √2 nu poate fi definit:
adica daca numarul acela este imaginar care ridicat la patrat da –1, tot asa de
imaginar in matematica cuantica e si numarul acela care ridicat la patrat da
+2, acesta rezulta din axa numerica restransa . Ideia nu este atat de absurda
cat pare la inceput. Nici nu e o ideie noua: matematicianul Edwin Abbott intr-un
roman al sau, al carui eroi sunt figurle plane aflate intr-o lume plana,
defineste cercul, regele figurilor plane drept un poligon regulat cu foarte
multe laturi. Pe de alta parte, Gauss a observat ca daca vrem sa pastram toate
legile de baza ale algebrei, nu ne putem extinde dincolo de corpul numerelor
complexe – iata primul exemplu de corp numerar restrans, propus intr-un alt
context.Dealtfel cand vorbim despre fractali, utilizam chiar numere
dimensionale care sunt fractiuni. In matematica utilizarea diferitelor numere
dimensionale este un lucru comun si frecvent, numai elementelor de baza ale
sistemelor de axiome li s-a atribuit pana acum in mod arbitrar un numar
dimensional conventional. Pe de alta parte, numarul dimensional diferit de 0 al
elementelor de baza introdus nu afecteaza alte ramuri speciale ale matematicii
cum ar fi teoria grafelor, etc. Dupa cum vedem, algebra cuantica poarta unele
proprietati al unui un caz special al algebrelor finite iar geometria cuantica
la randul ei poate fi considerata tot o geometrie finita in contextul
presupunerii existentei numarului Ω extrem de mare dar finit in
corelatia faptului, ca daca spatiul are structura de baza, fiind alcatuit din
elemente de baza cu dimensiuni minime, puncte, atunci si numarul punctelor
Universului este un numar extrem de mare dar finit.
Problema numerelor imaginare este complicata in
matematica cuantica. Daca presupunem ca punctul este elmentul de baza cu
extinderea cea mai mica in toate dimensiunile si construim o geometrie cu spatiu
cuantic compus din elemnte de baza cu marimea posibila minima discrete si
indivizibile, punctele si raportam acesta la axa numerara, rezulta o algebra cu
axa numerara cuantificata unde nu definim fractiunea cea mai mica in mod
explicit dar acceptam existenta ei si il numim numarul ?. Astfel insa excludem
pseudofractiunile, fractiunile infinite si numerele irationale din axa
numerica. In algebra clasica numai un numar „imaginar” poate fi acela care
ridicat la patrat da un rezultat negativ. Daca insa axa numerica este
cuantificata si compusa din fractiuni discrete, numai un numar la fel de
imaginar poate fi acela care daca este impartit, nu are un rezultat concret pe
axa numerica. Mai mult, daca dorim ca impartirea sa fie executabila asupra
numerelor acestei axei numerice cuantice, trebuie sa aplicam alte restrictii in
sensul numerelor din care ar rezulta pseudofractiuni. Astfel numerele primare
devin la randul lor „imaginare” in sensul ca nu pot rezulta din inmultirea sau
din ridicarea la putere a numerelor acestei axe numerice cuantice si au un rol
specialin matematica cuantica, asupra lor nefiind executabila impartirea. 
Fig.10. Numerele irationale, fractiunile infinite
si pseudofractiunile sunt excluse din axa numerica a matematiciicuantice.
Utilizarea
in practica a matematicii cuantice
De ce 3 sau 4 dimensiuni atribuite elementului
punct in„matematica realitatii”? In ultimele milenii acest numar in mod cu
totul arbitrar a fost stabilit a fi 0. Sa fie clar, daca acest numar difera de
0, ia nastere un sistem matematic cu totul nou. Numarul de 3+1 dimensiuni pare
a fi cel mai logic si adecvat intr-un „continuu” spatiu – timp cu 3+1
dimensiuni care pare a fi totusi cel real existent. Continuul spatiu – timp
poate fi interpretat si intr-un spatiu cu proprietati cuantice si cu ajutorul
matematicii cuantice, a valorilor discrete desi astfel continuul de fapt ar fi
seria fazelor succesive intr-un timp compus din momente statice succesive .
Daca spatiul la scara intregului Univers este euclidean, dupa cum presupunea
Fred Hoyle si presupun recent Szalay si Gray de la Universitatea John Hopkins,
acest lucru nu diminua valoarea geometriilor hiperbolice care in mod cert sunt
valabile in cazul curburilor de spatiu. Sa nu uitam ca geometria euclideana de
fapt este un caz special al geometriilor hiperbolice, care la randul lor
„functioneaza” si cu arsenalul matematicii cuantice care de fapt ar putea fi un
caz special si restrans al acestora.
Considerand structura matematicii contemporane
care este departe de a fi o stiinta absolut unitara, o matematica bazata pe
cantitati discrete poate fi integrat in sistem.
Daca spatiul fizic real nu este omogen si izotrop,
putem presupune ca el nu va putea fi descris de un model geometric al carui
spatiu este continuu. Invers, daca geometria cuantica si analiza marematica
cuantica mai sus propuse descriu corect fenomenele realitatii fizice existente,
suntem indreptatiti sa utltizam notiunea de spatiu abstract si real unificat ca
spatiu pur si simplu, care insa e inomogen, anizotrop, compus din elemente de
baza distincte, discrete si indivizibile cu o topologie definita ca o „retea
cristalina”, in care spatiu timpul poate fi interpretat ca seria consecutiva a
stadiilor discrete neidentice succesiv rezultate din cel precedent, in care
spatiu procesele sunt descrise de algoritme. Reformularea pe acesta baza a
microfizicii si a cosmologiei ne ar putea apropia de mult dorita teorie unificata
a interactiunilor. In conceptia geometriei cuantice continuul spatiu-timp este
un lant al stadiilor succesive statice discrete rezultate unul din cel
precedent. Vidul ca atare este interpretabil ca o forma a materiei care are o
ultrastructura sub forma unei „retele cristaline” si e compus din subunitati
individuale indivizibile. Sa ne aducem aminte de stralucita incercare a
spiritului uman de a introduce notiunea eterului, pentru a „umple” vidul cu
continut. Bineinteles conceptia eterului fluid izotrop si omogen apartine
trecutului, dar „eterul cristalin” al geometriei cuantice si a teoriei
matematice a spatiului cuantic unificat abstract si real este o aternativa ce
trebuie examinata atent. Fara sa mergem prea departe, interpretarea functiilor
de unda ale lui Schrödinger cu arsenalul matematicii cuantice ar fi la randul
lor foarte instructiv.
In orice caz intr-un spatiu cuantic un corp nu se
misca din punctul A in punctul B in mod continuu ci in n etape
discrete succesive, unde n ? ?. Intr-un spatiu cuantic nu exista
continuitate ci numai stadii statice discrete succesive si cel putin teoretic
observarea lor ar fi numai o problema de ordin tehnic in sensul rezolutiei
instrumentului observator. Continuul poate ca este o notiune pur abstracta care
pote ca nu are nici un echivalent real in realitatea fizica existenta. Acesta
ar insemna ca numai noi vedem caracterul continuu al miscarii. In acest sens
miscarea ar putea fi suma stadiilor statice succesive.
La scara vietii noastre nu putem observa vreo
diferenta in privinta desfasurarii fenomenelor in functie de orientarea
directiei procesului in spatiu, desi intr-un spatiu cuantic inomogen si
anizotrop ar fi de asteptat un asemenea fenomen. De exemplu, nu putem observa
vreo diferenta in propagarea luminii in vid in functie de orientarea in spatiu.
Acesta nu inseamna insa ca nu exista un asemenea fenomen, nedescoperit inca –
sa ne gandim la faptul ca au fost necesare eclipse solare pentru demonstrarea
curburii spatiului. La scara mare insa, in cea ce priveste problema deviatiei
spre infrarosu a liniilor spectrale ale obiectelor extrem de indepartate nu e
exclus ca in afara de viteza data de dilatarea Universului sa joace un rol si
caracterul cuantic al srtucturii de baza al spatiului. Tot asa, la scara extrem
de mica, caracterul cuantic al spatiului poate avea influenta majora asupra
fenomenelor.
De fapt marimea unui asemenea„topos” adica
unitatea de baza elementara discretea indivizibila a spatiului fizic real
existent ar trebui sa fie extrem de mica. Sa ne gandim la faptul ca exista
teorii conform caruia insusi electronul este un black-hole minuscul in jurul
caruia exista o curbura extrema a spatiului !In cazul confirmarii teoriei
spatiului cuantic ar trebui cercetat faptul ca de exemplu un cuantum de lumina
in cursul propagarii sale cate „toposuri” ocupa si ince mod. In orice caz, daca
consideram spatiul ca o retea cristalina, la trasarea unui segment ale caror
„puncte” sunt in „contact” in sensul vecinatatii topologice, trebuie sa
remarcam faptul ca conform teoriei biliardului, este imprevizibila traiectoria
segmentului intr-un spatiu cu structura tetraedrica sau hexagonala. Este
posibil ca fenomenul dispersiei si difractiei luminii se petrece dupa un
asemenea algoritm, soarta fasciculului fiind determinata de relatiile din locul
unde se produce dispersia: o diferenta minima la inceput produce o cu totul
alta traiectorie.
Dupa cum vedem, orientarea unui segment intr-un
spatiu cu structura de baza cuantica este un parametru important al lungimii
sale. Nu cunoastem insa tipul retelei cristaline al structurii de baza al
spatiului fizic real existent daca acesta ar fi intr-adevar cuantic, inomogen
si anizotrop. Astfel este posibil ca propagarea luninii in vid la scara vietii
noastre nu ar avea diferente masurabile in functie de orientarea directiei sale
in spatiu,exceptand dispersia luminii. Nu putem exclude insa, ca in cazul
spatiului cuantic fenomenele petercute in microfizica, la nivelul
subparticulelor si a energiilor extreme sunt determinate de orientarea in spatiu
si de ultrastructura spatiului cuantic adiacent. Tot asa, fenomenele petrecute
la scara dimensiunilor extreme, cum ar fi comportarea radiatiilor
electromagnetice care isi au sursa la periferia Universului pot fi influentate
de caracteristicile spatiului cuantic.
Concluzii
ontologice
Grecii au facut de fapt una dintre primele
abstractii stiintifice definind punctul ca ceva ce nu are parti. De aici a
rezultat atomismul lui Democrit care a generat un val de cunostinte care a
condus de la indivizibilul „a-tomos” „netaiabil” la quarcuri. Cum Democrit nu a
avut dreptate, poate ca a gresit si Euclide si punctul e acel ceva care totusi
„are parti” in sensul ca are dimensiuni. Poate ca punctul fara dimensiuni,
„ceva ce nu are parti” este eroarea cea mai mare a istoriei stiintei. Pana
acuma in cursul cunoasterii s-a formulat mai intai modelul bazat pe o conventie
arbitrara si apoi s-a incercat utilizarea in practica. Rezultatele sunt
suspecte. A venit timpul sa procedam invers: sa vedem cum arata conventiile de
baza ale unui model intr-adevar functionabil. Daca sunt ciudate, singurul lucru
ce avem de a face e sa ne miram, nu sa protestam. Inca o ideie apartine intre
aceste considerente: consecinta tezei lui Goedel privit in contextul limitelor
cunoasterii. Daca acceptam ca lumea functioneaza dupa un model matematic
precis, coerent si unitar, trebuie sa observam faptul ca nu numai in matematica
se pot pune intrebari la care nu poate fi dat raspuns. Acest lucru nu inseamna
un nihilism, un agnosticism precum nici relatia de incertitnine al lui
Heisenberg nu inseamna sa abordam o atitudine de agnosticism. Din contra:
trebuie sa fim constienti de limitele cunoasterii si sa avem speranta gasirii
unui model definitiv si unitar al existentei fizice reale. Daca credem in
existenta acestui model, avem obligatia de a-l cauta utilizand tota gama
posibilitatilor si cunostintelor noastre. Totodata, trebuie gasita adevarata
matematica si trebuie redat matematicii rangul de stiinta reala nr.1 care
intr-adevar este modelul si limbajul unitar, coerent si utilizabil fara
restrictii al stiintelor. Trebuie facut acest efort, deoarece dovedirea
unitatii si coerentei realitatii fizice existente si demonstrarea existentei
unui sistem logic dupa care functioneaza Universul are cosecinte filozofice
care depasesc cu mult cadrul prezentului studiu.
Referinte:
Steven Wolfram
A New Kind of Science
2002
Fritz
Reinhardt – Heinrich Soeder
dtv-Atlas
zur Mathematik
1994
Fred Hoyle
From
1972
Cornelius Lanczos
Numbers without end
1968
Albert Einstein – Leopold Infeld
The Evolution of Physics
1961
Bolyai János
Appendix
Bolyai Farkas
Tentamen
Euklides
Elemente
________________________________________________________________________
O copie a paginii
Dr. Czimbalmos-Kozma Ferenc
Mecseknádasd
2002-Oct.-14
e-mail:drcfhu@yahoo.co.uk
*© Copyright 2002 Dr. Czimbalmos-Kozma Ferenc. This piece of writing was registered under No.. 021114002T/2002 with the Hungarian ARTISJUS Copyright Office. This article or parts of it may be reproduced or kept on printed matter or in electronic form only upon written permission from the author, in full compliance with international law.