Proprietati principale ale Volumului de Aur
 

Mai pe larg, in publicatii, incepand cu 1989

  a) Considerind coordonatele unui colt al unui paralelipiped de aur: A0 (x0, y0, z0) si tinind cont ca: 
(13)

se pot determina coordonatele punctului Ag, centrul de convergenta al structurii generate prin divizare: 

(14)
Tinind cont ca verifica relatia (6), expresia : se poate rescrie astfel: 
(15)


Fig.5

Cu aceasta notatie, se determina coordonatele centrului de convergenta in raport cu un referential centrat in B (0, 0, 0) (fig.5). Fata de aceasta origine, coordonata xAg devine: 
(16)
respectiv: 
(17)

c) Punctul de convergenta Ag si B (fig.5) formeaza doua colturi opuse ale unui nou paralelipiped de aur de laturi: 

(18)

d)Continuand analiza structurii obtinute prin divizarea paralelipipedului de aur, notam fiecare punct caracteristic de pe suprafata initiala cu cifre de la 0 la 23 (fig.6), respectand o anumita ordine impusa. Se remarca aparitia intr-o evolutie completa (6 faze) a unui numar de 24 puncte importante, situate pe suprafata corpului supus divizarii. 

Fig.6
Consideram centrul de convergenta Ag, ca fiind originea unui sistem de axe directoare. Prin unirea lui Ag cu cele 24 de puncte importante de pe suprafata paralelipipedului se obtin 24 de directii ce determina 12 drepte concurente in Ag si definesc un numar de 9 plane distincte. Am demonstrat ca punctele de tipul A6k+i (k=0, 1, 2, ...,n si i=0,..,23) si A6(k+p)+i, p=k+1,...,n sunt coliniare (fig. 7 si 8). Am studiat si proiectia structurii pe cele trei plane principale ale sistemului triortogonal atasat paralelipipedului initial. 
 

Fig.7 

Fig.8
e) Punctele P1, P11, P14, P16, P20, P22,... sunt coplanare. Planul Q astfel definit, sectioneaza paralelipipedul de aur si formeaza cu planul orizontal un unghi diedru de 55,5 grade. El contine atat germenele Ag cat si diagonalele seriei de patrate ce "infasoara" paralelipipedul (fig. 9). 
 
 

Fig. 9

Fig.10
f) Punctele P1, P11, P14, P16, P20, P22,... le denumim puncte-diagonale si se afla pe o spirala logaritmica continuta in planul Q (fig. 11), a carei ecuatie este: 
(19)
Fig.11

g) Distantele 1 Ag , 11 Ag , 14 Ag etc., formeaza o progresie geometrica cu ratia: 
1/. Ele definesc un sistem de 6 directii centrat in Ag, fata de care se poate studia atat evolutia spiralei, cat si a paralelipipedului. Am demonstrat ca unghiul dintre doua directii consecutive este exact PI/3. Am denumit planul Q : "plan director" date fiind proprietatile remarcabile pe care le are: el contine "cheia" intregii structuri ce poate fi generata prin simple proiectii intr-un spatiu tridimensional orientat adecvat. 

In concluzie: 
precizam ca o serie numerica bazata pe o recurenta liniara avand forma: 

(20)

oricare ar fi L0,h0,l0, are proprietatea ca: 

(21)
unde este cea mai mare radacina reala a ecuatiei canonice: 
(22)

Dintre toate recurentele liniare de ordinul trei: 

(23)

remarcabila prin particularitatile structurii generate, este: 

(24)
ce permite delimitarea si studiul unei structuri geometrice de exceptie pe care am denumit-o Volumul de Aur. Valoarea=1.327717... este in spatiul 3D ceea ce =1.618034.. este pentru plan. 

Iata si generalizarea in n-D: