a) Considerind coordonatele unui colt al unui paralelipiped
de aur: A0 (x0, y0, z0)
si
tinind cont ca:
 (13)
se pot determina coordonatele punctului Ag, centrul
de convergenta al structurii generate prin divizare:
 (14)
Tinind cont ca verifica relatia
(6), expresia : se poate
rescrie astfel:
 (15)
Fig.5
Cu aceasta notatie, se determina coordonatele centrului de convergenta
in raport cu un referential centrat in B (0, 0, 0) (fig.5). Fata de aceasta
origine, coordonata xAg devine:
 (16)
respectiv:
 (17)
c) Punctul de convergenta Ag si B (fig.5) formeaza doua
colturi opuse ale unui nou paralelipiped de aur de laturi:
 (18)
d)Continuand analiza structurii obtinute prin divizarea paralelipipedului
de aur, notam fiecare punct caracteristic de pe suprafata initiala cu cifre
de la 0 la 23 (fig.6), respectand o anumita ordine impusa. Se remarca aparitia
intr-o evolutie completa (6 faze) a unui numar de 24 puncte importante,
situate pe suprafata corpului supus divizarii.
 Fig.6
Consideram centrul de convergenta Ag, ca fiind originea
unui sistem de axe directoare. Prin unirea lui Ag cu
cele 24 de puncte importante de pe suprafata paralelipipedului se
obtin 24 de directii ce determina 12 drepte concurente in Ag
si definesc un numar de 9 plane distincte. Am demonstrat ca punctele
de tipul A6k+i (k=0, 1, 2, ...,n si i=0,..,23) si A6(k+p)+i,
p=k+1,...,n sunt coliniare (fig. 7 si 8). Am studiat si proiectia structurii
pe cele trei plane principale ale sistemului triortogonal atasat paralelipipedului
initial.
Fig.7 |
Fig.8 |
e) Punctele P1, P11, P14, P16, P20, P22,... sunt coplanare. Planul
Q
astfel definit, sectioneaza paralelipipedul de aur si formeaza cu planul
orizontal un unghi diedru de 55,5 grade. El contine atat germenele
Ag cat si diagonalele seriei de patrate ce "infasoara"
paralelipipedul (fig. 9).
Fig. 9 |
Fig.10 |
f) Punctele P1, P11, P14, P16, P20, P22,... le denumim puncte-diagonale
si se afla pe o spirala logaritmica continuta in planul Q (fig. 11), a
carei ecuatie este:
 (19)
 Fig.11
g) Distantele 1 Ag , 11 Ag , 14 Ag etc., formeaza
o progresie geometrica cu ratia:
1/. Ele definesc un
sistem de 6 directii centrat in Ag, fata de care
se poate studia atat evolutia spiralei, cat si a paralelipipedului. Am
demonstrat ca unghiul dintre doua directii consecutive este exact PI/3.
Am denumit planul Q : "plan director" date fiind proprietatile remarcabile
pe care le are: el contine "cheia" intregii structuri ce poate fi generata
prin simple proiectii intr-un spatiu tridimensional orientat adecvat.
In concluzie:
precizam ca o serie numerica bazata pe o recurenta liniara avand forma:
 (20)
oricare ar fi L0,h0,l0, are
proprietatea ca:
 (21)
unde  este cea mai mare
radacina reala a ecuatiei canonice:
 (22)
Dintre toate recurentele liniare de ordinul trei:
 (23)
remarcabila prin particularitatile structurii generate, este:
 (24)
ce permite delimitarea si studiul unei structuri geometrice de exceptie
pe care am denumit-o Volumul de Aur. Valoarea=1.327717...
este in spatiul 3D ceea ce  =1.618034..
este pentru plan.
Iata si generalizarea
in n-D:
|
