Volumul de aur - extindere in 3D a proportiei continue 

O proportie continua, definita prin trei numere a, b, c, poate sta la baza constructiei unui corp in spatiu ( un paralelipiped). Incercarile de a construi insa un asemenea corp s-au lovit de imposibilitatea rezolvarii pe cale grafica a unor ecuatii de gradul trei. Realizarea unei proportii ideale in "trei timpi" nu a fost luata in considerare de catre antici, acestia considerand ca spatiul 3D este generat prin "dinamica planului (2D)". O incercare de depasire a impasului este atribuita lui Platon, care remarca importanta "mediatatii" in geometria in spatiu. Ideea este materializata de Hippocrate in rezolvarea problemei privind dublarea volumului unui cub dat: 

sau  (1)
 

In baza modelului clasic plan si depasind limitele rezolvarilor grafice, ne-am pus problema identificarii unui "volum de aur" si implicit un numar de aur atasat spatiului 3D. In acest scop, definim paralelipipedul P(ABCDA'B'C'D'), fig.1, cu laturile bazei L, l si inaltimea h. Volumul acestui corp geometric este notat cu Vi. 

fig.1

Asemanator modului de generare a structurii de "aur" plane, se divide volumul Vi intr-un paralelipiped avand baza un patrat Pi (Vpi) si se defineste corpul ramas ca fiind complementarul lui Vpi (Vcpi), procesul repetandu-se recursiv. 
In baza modelului sugerat de divizarea unui dreptunghi de aur (modelul clasic) impunem urmatoarea relatie cantitativa dintre partile rezultate din aplicarea recurenta a acestei divizari: 
 

(2) 

care, explicitata in functie de dimensiunile alese initial L, h< l, devine: 

(3)

respectiv: 

(4)

Notand L/l = a si h/l = , din (4) rezulta: 

(5)

Ecuatia caracteristica : 

(6) 
are o singura radacina reala numita de noi Numar de aur 3D (= 1,324717...) iar paralelipipedul astfel definit il numim Volumul de aur. De remarcat faptul ca inaltimea h este media geometrica dintre L si l, fapt ce confera structurii o unitate speciala, elementele paralelipipedului (L,h,l) fiind legate prin proportia continua: 
  
(7)

La acelasi rezultat matematic se ajunge si prin alt mod de gandire. In locul operatiei de divizare a unei structuri particulare se pot alatura dupa o anumita regula, elemente identice structural: patrate in cazul modelului clasic plan. 

Astfel, dreptunghiul (Xn+1 ; Xn), format la limita, dupa un numar infinit de aditii succesive de patrate -(reprezentare grafica a generarii seriei lui Fibonacci)- permite definirea numarului de aur: = lim (Xn+1 / Xn)=1.618034... ; n->4. (fig2). 

fig.2
Procedand asemanator si inlocuind elementul generator: patratul cu unul tridimensional: cubul, am definit constructia din fig 3 . 
Fig.3

Aceasta este imaginea geometrica a recurentei liniare de ordinul trei: 

Xn+3 = Xn+1 + Xn     (8) 
pornita de la volumul initial: X 0=1, X1 =1, X2 =1. 
Recurenta (8) are ecuatia canonica: 
X3 - X - 1 = 0      (9)
cu radacinile: 
  (10)
  unde: 
(11)

Solutia relatiei (8) este: 

  (11)

unde C1, C2, C3 sunt constante reale ce se determina din conditiile initiale ale relatiei (8). Tinand cont de faptul ca > 1, rezulta: 

(12)

Interesul deosebit acordat sectiunii de aur este motivat de proprietatile particulare pe care le are structura geometrica obtinuta printr-un proces particular de divizare a unui dreptunghi de aur utilizat ca arie initiala (fig. 4). 

 
Fig.4
  In mod asemanator, studiile efectuate de noi au vizat identificarea de proprietati geometrice ale paralelipipedului de aur, proprietati menite sa si justifice denumirea de "Volum de Aur". 
Acesta are o seama de proprietati deosebite: